Градиент

Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.

Градие́нт (от латgradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины \varphi, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении

.

Например, если взять в качестве \varphi высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона

.

С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве

.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным

.

Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл

.

Стандартные обозначения

:
\mathrm{grad}\, \varphi

или, с использованием оператора набла

,
\nabla \varphi

— вместо \varphi может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например \mathrm{grad}\, V, \nabla V — обозначения градиента поля V

.

Содержание

Определение

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции \varphi = \varphi(x, y, z) координат x, y, z называется векторная функция с компонентами

\frac {\partial \varphi} {\partial x}, \frac {\partial \varphi} {\partial y}, \frac {\partial \varphi} {\partial z}.

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат \vec e_x, \vec e_y, \vec e_z

:
\mathrm{grad}\, \varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.

Если \varphi — функция n переменных x_1, \;\ldots, \;x_n, то её градиентом называется n-мерный вектор

\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1}, \;\ldots, \;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),

компоненты которого равны частным производным \varphi по всем её аргументам

.
  • Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
  • Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, \mathrm{grad} или \nabla) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто "градиентом".


Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения d\mathbf{x} дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на d\mathbf{x}. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать

:

df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\, dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\, dx_2 
+ \frac {\partial f} {\partial x_3}\, dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\, dx_i = (\mathrm{grad}\, \mathbf{f} \cdot d\mathbf x).

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x_i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку d\mathbf{x} — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как

:

d f = \sum_i (\partial_i f)\, dx^i

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы

,

df=(\partial_i f)\, dx^i

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах

.

Пример

Например, градиент функции \varphi(x, \;y, \;z)=2x+3y^2-\sin z будет представлять собой

:
\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \;\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2, \;6y, \;-\cos z)

В физике

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей

.

Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии

.

В естественных науках

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далеких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер

).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д

.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, Например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз

.

Геометрический смысл

Рассмотрим семейство линий уровня функции \varphi

:
\gamma(h)=\{(x_1, \;\ldots, \;x_n)\mid \varphi(x_1, \;\ldots, \;x_n)=h\}.

Нетрудно показать, что градиент функции \varphi в точке \vec{x}{\, }^0 перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности \vec{x}{\, }^0, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке

.

Связь с производной по направлению

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции \varphi по направлению \vec{e}=(e_1, \;\ldots, \;e_n) равняется скалярному произведению градиента \varphi на единичный вектор \vec{e}

:
 \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi, \;\vec e)

Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными

.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах

\operatorname{grad}\, U(q_1, \;q_2, \;q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3,

где H_i — коэффициенты Ламе

.

Полярные координаты (на плоскости)

Коэффициенты Ламе

:
\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r. \end{matrix}

Отсюда

:
\operatorname{grad}\, U(r, \;\theta) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta}.

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе

:
\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = 1. \end{matrix}

Отсюда

:
\operatorname{grad}\, U(r, \;\theta, \;z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}.

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе

:
\begin{matrix}H_1 = 1; \\ H_2 = r; \\ H_3 = r\sin{\theta}. \end{matrix}.

Отсюда

:
\operatorname{grad}\, U(r, \;\theta, \;\varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}.

См. также

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «градиент»

Литература

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30


Wikimedia Foundation. 2010.